백준 1011번 파이썬 풀이: Fly me to the Alpha Centauri

백준 1011번 Fly me to the Alpha Centauri

 

알고리즘 분류: 수학

 

링크: https://www.acmicpc.net/problem/1011

 

1011번: Fly me to the Alpha Centauri

문제

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. (0 ≤ x < y < 231)

출력

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 회수를 출력한다.

 

문제 파악

 

생각보다 문제의 규칙을 파악하는게 쉽지 않은 문제였다.

 

또한 입력값이 2의 31승까지 주어질수 있기 때문에 시간초과가 나기도 쉬운 문제이다.

 

문제의 규칙을 파악했다면 이 문제의 절반은 풀었다고 볼 수 있다.

 

이 문제의 핵심은 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리를 1로 하는 것이다.

 

이동 할 수 있는 거리는 k-1, k, k+1로 주어지기 때문에 마지막 이동거리를 1로 하기위해선

 

이동거리를 늘려가다가 다시 점점 줄어드는 형태로 자동차가 엑셀을 밟다가 브레이크를 밟는 모습과 유사하다.

 

거리에 따른 최소한의 이동 횟수를 살펴보자면

 

거리	이동	최소 이동 횟수
1	1	1
2	1 1	2
3	1 1 1	3
4	1 2 1	3
5	1 2 1 1	4
6 (4 + 2)	1 2 2 1	4
7	1 2 2 1 1	5
8	1 2 2 2 1	5
9	1 2 3 2 1	5
10	1 2 3 2 1 1	6
11	1 2 3 2 2 1	6
12 (9 + 3)	1 2 3 3 2 1	6
13	1 2 3 3 2 1 1	7
14	1 2 3 3 2 2 1	7
15	1 2 3 3 3 2 1	7
16	1 2 3 4 3 2 1	7

정말 노트에 하나하나 써가면서 풀지 않는이상 찾기 힘든 규칙이 숨어있다.

 

거리가 1, 2, 3인 경우는 이동횟수가 1씩 늘어나기 때문에 예외로 친다.

 

바로 제곱수인 거리에 주목을 해야한다.

 

거리가 제곱인 수를 보자면 1부터 거리의 제곱근인 수까지 증가하다가 다시 줄어든다.

 

또한 다음 제곱인 수가 나오기 전에 제곱인수에 제곱근인 수를 더한 다음수부터 이동횟수가 늘어난다.

 

무슨 말인지 못알아듣겠으니 바로 코드로 넘어가자면

 

 

코드

# 1011번

import math

T = int(input())

for _ in range(T):
    x, y = map(int, input().split())
    distance = y - x
    count = 0

    num = math.floor(math.sqrt(distance))   # n제곱 <= 거리 < (n+1)제곱일때 n제곱
    num_square = num ** 2   # n제곱의 제곱
    increase_num = math.sqrt(num_square)

    if distance > num_square + increase_num:
        count = 2 * num + 1
    elif distance > num_square and distance <= num_square + increase_num:
        count = 2 * num
    elif distance == num_square:
        count = 2 * num - 1

    if distance < 4:
        count = distance

    print(count)

num은 거리가 n제곱에서 (n+1)제곱의 사이일 때 n을 나타내는 변수이다.

 

num_square는 num의 제곱수이고 increase_num은 최소 이동횟수가 늘어나는 기점이 되는

 

제곱근인 수이기 때문에 num_square의 제곱근이다.

 

이해가 쉽게 되지 않을것이기 때문에 예를 들어보자면

 

거리가 10만큼 떨어져있다고 가정해보면

 

math.sqrt(distance)는 3.xxx일것이기 때문에 num = 3, num_square = 9, increase_num = 3이다.

 

거리(10)는 num_square(9)보단 크지만 num_square(9) + increase_num(3)보단 작으니

 

이동횟수는 2 * num번이 된다.

 

설명하기도 어렵고 발견하기도 쉽지 않은 규칙이지만

 

표를 보면서 차분하게 공식을 일반화시켜보면 규칙을 발견할 수 있을 것이다.

 

이 규칙을 발견하지 않고 대충 대입해가며 풀다보면 시간초과를 벗어나기 힘들것으로 생각된다.